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人教版四年级数学上册第一单元第06课时求亿以内数的近似数PPT课件含教案
页数：33 | 大小：42M这份PowerPoint由四个部分构成。第一部分内容是学习目标，学生首先要掌握将非整万的数“四舍五入”法改写成用“万”作单位的近似数的方法，其次可以增强学生的科普知识，最后能够拓宽学生的视野。第二部分内容是重点难点，这一部分首先展示了教学重点，其次介绍了教学难点，最后对核心素养进行简要说明。第三部分内容是学习任务，这一部分主要包括“借助数轴，求近似数”、“自学建模，四舍五入”。第四部分内容是应用拓展和巩固成果。
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人教版四年级数学上册第六单元《除数是两位数的除法》单元复习课件PPT课件含教案
页数：18 | 大小：4M这份PPT由四个部分组成。第一部分内容是单元知识体系梳理，此模板首先展示了“除数是两位数的除法”的知识体系框架，包括口算除法和笔算除法。第二部分内容是重难点易错点剖析，这一部分主要包括“除法的估算”、“除数是两位数的笔算方法”、“除数是两位数的试商方法”、“商的变化规律”。第三部分内容是变成巩固练习，这一部分一方面展示了八道《填一填》，另一方面是对《判断正确》和《简便计算》进行展示。第四部分内容是综合拓展延伸。
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四年级数学下册北师大 第三单元 第3课时 小数点搬家（试一试）PPT课件（教案+分层作业+学习任务单）
页数：30 | 大小：14M这份“小数点搬家（试一试）”课件紧接上一课时规律，用“口算感知—图像写数—除法应用—儿歌记忆”四连步，把小数点移动与“乘10、100、1000”和“除以10、100、1000”的特殊计算直接挂钩，帮助学生实现“看到倍数就能想到点移方向”的自动化反应。课堂以一组“10、100”口算热身启动，学生发现“0.0710=0.7、0.07100=7”，教师顺势追问：“乘数变大，小数点向哪边搬？”自然切入任务一：在方格图中写出0.07、0.7、7，并用“格子数10”验证，得出“扩大到原数10倍、100倍，小数点向右移一位、两位，位数不够补0”的放大规则；任务二转向“除法”场景：求0.07的1/10、1/100，学生用“10、100”计算并观察方格，归纳“缩小到原数1/10、1/100，小数点向左移一位、两位，同样补0占位”。为突破“位数不足”难点，课件创编儿歌：“右扩左缩，缺0就补，一位十倍，两位百倍”，配合手势动作，学生边唱边在数位顺序表上打点，强化方向与倍数对应；达标练习用“四套餐”：①直接计算——0.4100、3.210；②应用题——矮柳高度0.05米，扩大100倍是多少；③改错——找出点错方向；④填表——乘除交替变化，系统实时反馈正确率，教师针对“补0漏写”“方向点反”再示范，确保“会算、会判断、会应用”全程过关。总结用“儿歌+手势”收束：右移扩大，左移缩小，位数不够0来凑；课后分层作业让学生把“点移”故事画成数学连环画，真正实现“用数学语言表达变化，用数学眼光观察倍数”。整份课件用“口算感知—图像验证—儿歌记忆—分层应用”四连击，把特殊乘除计算从“机械计算”升级为“会看点、会补0、会编故事”的综合能力，既培养数感和运算能力，又为后续小数乘除法竖式及解决实际问题奠定坚实而有趣的基础。
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四年级数学上学期期末复习讲练测人教第一单元大数的认识PPT课件含教案
页数：26 | 大小：10M这套专为人教版四年级数学上学期期末复习设计的PPT模板，专注于“大数的认识”这一单元，共26页。本单元的学习目标是让学生系统且全面地认识计数单位、数位级等概念，熟练掌握数位顺序表，并能准确区分计数单位与数位。通过深入学习大数的知识，学生的数感将得到培养，运用数学知识解决实际问题的能力也将得到提升。PPT的开篇部分通过幻灯片形式，深入分析了本单元的知识结构，为学生提供了一个清晰的思维导图，帮助他们回顾和梳理本单元的重点知识。这一部分为学生提供了一个直观的学习框架，确保他们能够系统地掌握大数的基础知识。第二部分是知识精讲，通过演示文稿的形式，对本单元的相关知识点进行了细致的讲解。这一环节涵盖了数位和数的组成、亿以内数的读法、一以内数的写法、一以内数的大小比较、把整万的数改写成用万作单位的数、数的产生及10进制计数法等关键知识点。通过知识点的讲解和例题的分析，学生能够更加深刻地理解和掌握与大数相关的知识。本套PPT模板通过结构化的复习和丰富的实践练习，使学生能够在期末复习中系统地回顾和巩固“大数的认识”单元的知识，为期末考试做好充分的准备。通过这种有针对性的复习，学生不仅能够掌握必要的数学技能，还能在数感和问题解决方面得到显著提升。通过这种互动式学习，学生能够在实践中加深对大数的认识，提高解决问题的能力，从而在数学学习中取得更好的成绩。通过本单元的学习，学生将能够更好地理解和应用大数的概念，为后续更复杂的数学学习打下坚实的基础。
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人教版四年级数学上册第五单元平行四边形和梯形单元复习课件PPT课件含教案
页数：21 | 大小：4M该课件以幻灯片的形式介绍了平行四边形和梯形的内容，方便教师在使用PowerPoint时更好的呈现平行四边形与梯形的区别。PPT课件的第一部分是单元知识体系框架梳理，介绍了平行与垂直、平行四边形和梯形等方面的内容。第二部分是重难点易错点剖析，介绍了平行与垂直、平行与垂直的画法、垂线的画法、点到直线垂线的画法、平行线之间的距离、三条直线的位置关系、长方形的画法、正方形的画法、平行四边形的特性等关系的内容。第三部分是深化练习，呈现了一些练习题，第四部分是拓展练习，呈现了一些难度较大的题目。
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人教版四年级数学上册第五单元第04课时平行四边形的认识PPT课件含教案
页数：30 | 大小：7M该课件以幻灯片的形式介绍了平行四边形的认识的内容，方便教师在使用PowerPoint时更好的介绍平行四边形的特性。PPT课件采用了问题导入的形式，并且介绍了生活中的平行四边形。接着，PPT课件依次介绍了探究平行四边形的特征、探究平行四边形的底和高、探究平行四边形容易变形的特征等方面的内容，并且呈现了大量的图片。此外，PPT还呈现了相应的课后作业。
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北师大四年级数学上册第四单元 第2课时 加法交换律和乘法交换律PPT课件含教案
页数：27 | 大小：62M这是一套专为北师大版数学四年级上册第四单元第 2 课时 “加法交换律和乘法交换律” 设计的 PPT 课件，共包含 27 张幻灯片。本节课的核心目标是通过生活中的实际例子，帮助学生深入理解加法交换律和乘法交换律的含义，明确 “交换两个加数的位置，和不变” 以及 “交换两个因数的位置，积不变” 的规律，并能够准确表达这两种交换律的内容。通过 “情境观察—提出猜想—举例验证—总结规律—应用拓展” 的教学流程，学生将经历从具体实例中抽象出数学规律的过程，从而培养他们的归纳推理和抽象思维能力。该套 PPT 课件从四个关键部分展开本节课的学习内容。第一部分是 “提出猜想举例验证”，这一部分通过展示一系列加法和乘法算式，引导学生观察并发现其中的规律。例如，通过观察 3+5=5+3 和 46=64 等算式，学生将提出猜想，并通过更多的例子进行验证。这一环节不仅帮助学生初步理解加法交换律和乘法交换律，还培养了他们的观察力和逻辑推理能力。第二部分是 “寻找生活事例解释规律”，这一部分通过具体的日常生活实例，帮助学生更直观地理解加法交换律和乘法交换律的含义。例如，通过计算两个班级的总人数（加法交换律）或计算购买多个相同物品的总价（乘法交换律），学生可以直观地感受到这些规律在实际生活中的应用，从而加深对数学概念的理解。第三部分是 “多种方式表征规律”，这一部分通过文字描述、数学算式、字母表示等多种方式，帮助学生全面理解和表达加法交换律和乘法交换律。例如，通过用字母 a 和 b 表示加法交换律 a+b=b+a，以及用字母 m 和 n 表示乘法交换律 mn=nm，学生将学会用更抽象的方式表达数学规律，进一步提升他们的抽象思维能力。第四部分是 “达标练习巩固成果”，这是本节课的巩固环节。通过一系列精心设计的练习题，学生将对本节课所学的加法交换律和乘法交换律进行全方位的巩固和检测。这些练习题涵盖了不同难度和类型，旨在帮助学生进一步深化对这两种交换律的理解，提升他们的综合应用能力。通过这一环节，教师可以及时了解学生的学习情况，发现他们在学习过程中存在的问题，并给予针对性的指导和帮助，确保学生能够真正掌握本节课的核心内容。通过这样的课程设计，学生不仅能够深入理解加法交换律和乘法交换律的含义和应用，还能在学习过程中培养多种重要的数学思维能力和学习习惯。这种以学生为中心、以问题为导向的教学方式，将极大地激发学生的学习积极性和主动性，使他们在轻松愉快的氛围中提升数学素养，为今后的数学学习奠定坚实的基础。
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人教版四年级数学上册第四单元 第05课时 速度、时间、路程PPT课件含教案
页数：31 | 大小：19M本套PPT课件是为 人教版数学四年级上册第四单元第5课时“速度、时间、路程” 设计的，共包含 31张幻灯片。本节课的核心目标是帮助学生深入理解速度、时间、路程的含义，准确区分这三个量，并掌握它们之间的数量关系公式。通过本节课的学习，学生将能够运用这些数量关系解决简单的实际行程问题，提升数学思维和问题解决能力。课件内容分为四个部分。第一部分为“认识速度、时间、路程”，这部分主要帮助学生掌握速度、时间、路程的定义。通过生动的实例和直观的图示，引导学生理解速度是单位时间内行进的路程，时间是行进过程的持续时长，而路程则是行进的总距离。这一环节为后续学习奠定了基础，帮助学生明确每个概念的具体含义。第二部分为“探究速度、时间、路程的关系”，这是本节课的重点环节。通过解决实际问题，引导学生逐步发现速度、时间、路程之间的数量关系。例如，通过计算不同交通工具在相同时间内的行程，帮助学生总结出“速度 时间 = 路程”的公式。同时，通过变换条件，引导学生推导出其他两个公式：“路程 时间 = 速度”和“路程 速度 = 时间”。这一过程不仅帮助学生掌握公式，还培养了他们的逻辑推理能力。第三部分为“应用拓展——发散思维”，该部分通过具体例题，鼓励学生运用所学公式解决实际问题。例如，设计一些生活中的行程问题，如计算从家到学校的距离、汽车的平均速度等。通过这些例题，学生不仅能够巩固所学知识，还能在解决实际问题的过程中，加强对速度、时间、路程之间数量关系的理解和应用。这一环节还注重培养学生的发散思维，鼓励他们从不同角度思考问题，寻找多种解决方案。第四部分为“巩固成果，达标练习”，该部分通过练习的方式，帮助学生回顾复习本节课的知识。练习题设计多样，既有基础题帮助学生巩固公式，也有拓展题提升学生的思维能力。此外，通过表格的方式，引导学生进行知识总结，帮助他们梳理本节课的重点内容，提高归纳总结能力。这一环节旨在通过系统的练习，确保学生能够熟练运用所学知识解决实际问题。整套PPT课件设计科学合理，内容丰富多样，通过多种教学活动的设计，充分调动学生的学习积极性。通过从定义到关系再到应用的逐步引导，学生能够系统地掌握速度、时间、路程的概念及其数量关系。这种教学设计不仅符合四年级学生的认知特点，还能有效培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，为学生后续的数学学习奠定坚实基础。
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人教版四年级数学上册第一单元第01课时亿以内数的认识PPT课件含教案
页数：35 | 大小：76M这份PowerPoint由六个部分构成。第一部分内容是学习目标和重点难点，该模板首先对教学重点、教学难点和核心素养进行展示。第二部分内容是课前引入，这一部分通过万以内的数来引入亿以内的数，其次展示了全国第七次人口普查的数据，最后对学习任务进行简要说明。第三部分内容是探求新知，这一部分主要包括数字的含义、计数单位的认识。第四部分内容是小试牛刀。第五部分内容是数位、数级的认识。第六部分内容是应用拓展。
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人教版四年级数学上册第一单元第02课时亿以内数的读法PPT课件含教案
页数：27 | 大小：29M这份PPT由四个部分组成。第一部分内容是课前引入，此模板首先介绍了万以内数的读法，其次引导学生探究学习整万数的读法，最后通过小试牛刀来检测学生的掌握情况。第二部分内容是探究含有两级的数的读法，这一部分主要包括含有两级的数的读法、数级末尾含有0的数的读法、其他数位含有0的数的读法。第三部分内容是亿以内数的读法专练。第四部分内容是读数游戏“你写我读”。第五部分内容是知识总结和课后作业。
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人教版四年级数学上册第一单元第03课时亿以内数的写法PPT课件含教案
页数：34 | 大小：32M这份PowerPoint由四个部分构成。第一部分内容是学习目标，该模板首先要求学生掌握亿以内数的写法，其次能够拥有主动迁移知识的思维习惯，最后可以激发学生热爱数学的情感。第二部分内容是课前引入，这一部分首先通过视频来引入课堂，其次要求学生提取有用的数学信息，最后对课堂知识进行展示，包括整万数的写法、含有两级数的写法。第三部分内容是应用拓展，这一部分主要包括《填一填》、《达标练习》。第四部分内容是知识总结和课后作业。
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人教版四年级数学上册第一单元第04课时亿以内数的大小比较PPT课件含教案
页数：27 | 大小：37MPPT模板内容主要通过PowerPoint软件分几个部分来向我们展开介绍有关于小学数学教学课件的相关内容。PPT模板内容第一部分主要向我们详细的讲解了本节课的学习目标。第二部分是有关于本节课的重点和难点。第三部分主要是有关于本节课的学习任务。第四部分是有关于探求新知的具体内容。第五部分主要向同学们详细的讲解了本节课的重要知识点。最后一部分是有关于课堂小结的内容。
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人教版四年级数学上册第一单元大数的认识单元复习课件PPT课件含教案
页数：19 | 大小：17M该PPT课件以幻灯片的形式介绍了第一单元《大数的认识》单元复习的内容，方便教师在使用PowerPoint时更好的回顾《大数的认识》的相关内容。在教学过程中，教师要取材于生活，通过建立数学与生活的联系进行教学来提升教学效果。第一部分带领同学们进行单元知识体系梳理。第二部分进行重难点易错点剖析。第三部分进行变式巩固练习。第四部分进行综合拓展延伸，锻炼学生们的逻辑思维能力。
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人教版四年级数学上册第一单元第09课时亿以上数的写法和改写PPT课件含教案
页数：33 | 大小：45M这份PPT由四个部分组成。第一部分内容是学习目标和重点难点。第二部分内容是课前引入，这一部分首先要求学生写数并观察写数的注意事项，其次展示了亿以内数的写法，最后通过小组交流来掌握写数的顺序。第三部分内容是探究新知，这一部分一方面引导学生掌握亿以上数的读法，另一方面是对数位顺序表进行展示。第四部分内容是应用拓展和巩固练习，包括《小试牛刀》和《达标练习》。
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人教版四年级数学上册第一单元第08课时亿以上数的读法PPT课件含教案
页数：28 | 大小：17M这份PowerPoint由五个部分构成。第一部分内容是学习目标，学生首先要掌握亿以上数的读法，其次能够体验迁移类推的数学思想方法，最后可以体验学习数学的兴趣。第二部分内容是重点和难点，其中重点是学习亿以上数的读法，其次可以掌握中间和末尾有0的数的读法，最后可以感受数学与生活的紧密联系。第三部分内容是课前引入和探究新知。第四部分内容是学习任务，包括“整亿数的读法”、“亿以上数的读法”。第五部分内容是达标练习和课后作业。
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四年级数学上册人教第六单元第06课时商是两位数的笔算除法PPT课件含教案
页数：27 | 大小：10M本套 PPT 课件是针对人教版数学四年级上册第六单元第 6 课时“商是两位数的笔算除法”精心设计的教学资源，共包含 27 张幻灯片。其核心目标是助力学生熟练掌握商是两位数的笔算除法的计算技巧，明确商的每一位在竖式中的准确书写位置，能够准确无误地进行笔算操作，并且能够灵活运用所学知识解决各类实际问题。此外，通过本节课的学习，学生还将经历完整的商是两位数的笔算除法计算过程，从而有效培养他们的观察力、分析能力和推理能力，进而提升计算的准确性和灵活性。该套 PPT 课件从四个关键方面展开教学内容。第一部分聚焦于商是两位数的除法的笔算方法。在这一环节，通过呈现具体的数学问题，引导学生正确列出算式，然后借助列竖式、估算等多种计算方式，帮助学生逐步理解并掌握笔算除法的计算步骤和要点。第二部分则专门针对商的个位是 0 的除法进行讲解，深入剖析这类特殊情况的处理方法和注意事项。第三部分是应用拓展与发散思维环节，通过设计一些具有挑战性和开放性的问题，引导学生将所学知识灵活运用到不同的情境中，培养学生的创新思维和问题解决能力。第四部分为巩固成果与达标练习，通过精心设计的练习题，帮助学生进一步巩固本节课所学的知识点，加深对商是两位数的笔算除法的理解和掌握，确保学生能够熟练运用所学知识解决实际问题，从而实现本节课的教学目标。
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四年级数学下册北师大 第一单元 第6课时 买菜（教学课件）PPT课件（教案+分层作业+学习任务单）
页数：34 | 大小：13M这份四年级下册“买菜”主题课件把“小数不进位加、不退位减”嵌入真实的买菜情境，依照“估算—探究—归纳—应用”四步，引导学生在“元角分”的拆分、画图和竖式对比中理解“小数点对齐就是数位对齐”的算理，培养估算、迁移和运算能力。课堂从整数加减竖式热身出发，教师迅速抛出“买油菜1.25元、芹菜2.41元，一共多少钱”的生活问题，学生先用“元+元、角+角、分+分”的拆分法口算估算，得出“大约3.6元”的范围，再用1:1元角分学具板摆出1.25+2.41，直观看到“5分+1分=6分，2角+4角=6角，1元+2元=3元”，教师同步在屏幕上把“元、角、分”与“个位、十分位、百分位”一一对应，顺势抽象出竖式：小数点对齐，按整数加法计算，得数点小数点，减法验算3.66-1.25同理，归纳出“三句口诀”：点对齐、位相同、得数点小数点。达标练习采用“生活三套餐”：①估算—水费单大约多少钱；②竖式—跳远成绩2.14米-1.85米；③口算—身高1.42米+0.06米，均选自期末真题，学生先独立用竖式或口算，再小组互评“小数点对齐是否规范”，系统实时统计正确率，教师针对“小数点漏写”“相同数位未对齐”再示范，确保“会算、会估、会说”全程过关。总结用“一张算法卡”收束：点对齐、位相同、得数点小数点，学生用便利贴写下“最得意的一次口算”贴于展板，形成班级“计算智慧墙”；自我评价从“我敢估算、我会对齐、我肯检查”三面点赞，小组互评贴星星，让知识、情感双提升。整份课件用“生活情境—元角分拆分—竖式抽象—真题应用”四连击，把小数加减从“机械对齐”升级为“会估算、会拆、会对齐”的迁移能力，既突破“小数点对齐”难点，又培养数感和运算意识，为后续进位、退位小数加减及小数四则混合运算奠定坚实而有趣的基础。
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四年级数学下册北师大 第一单元 第9课时 歌手大赛（教学课件）PPT课件（教案+分层作业+学习任务单）
页数：30 | 大小：14M这份四年级下册“歌手大赛”课件以“小数加减混合运算”为核心，依照“复习铺垫—估算判断—分步综合—生活应用”四步展开，引导学生在真实的评分情境中经历估算、列式、计算、比较的全过程，体会小数混合运算与整数顺序的一致性，感受解题策略的多样性。课堂从整数混合运算递等式口算热身切入，教师随即抛出“5号选手总分高还是9号选手高”的悬念，学生先用“比总分”和“比单项”两种估算方法快速锁定“5号更高”，再用分步和综合两条路径精确计算：综合式（9.43-8.65）+0.6=0.38，强调“括号优先”，分步式则先算单项差再累加，结果一致，顺势归纳“小数混合运算顺序与整数相同：从左往右、先算括号”。为突破“实际问题应用”难点，课件设计“生活三套餐”：①绳子接长——先剪再接求剩余；②小动物过河——加减混合接力；③淘气身高变化——开放提问并解答，均选自期末真题，学生先独立用递等式，再小组互评“括号使用是否规范”，系统实时统计正确率，教师针对“括号漏写”“相同数位未对齐”再示范，确保“会估算、会列综合式、会检查”全程过关。总结用“一张算法卡”收束：小数点对齐，顺序同整数，括号优先，学生用便利贴写下“最简洁的一次综合式”贴于展板，形成班级“混合运算智慧墙”；自我评价从“我敢估算、我会列综合式、我肯检查”三面点赞，小组互评贴星星，让知识、情感双提升。整份课件用“情境激趣—估算锁定—综合计算—生活应用”四连击，把小数加减混合运算从“会算”升级为“会估算、会列综合式、会解决”的综合能力，既突破“括号优先”难点，又培养数感和运算意识，为后续小数四则混合运算及解决更复杂实际问题奠定坚实而有趣的基础。
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四年级数学下册北师大 第二单元 第3课时 三角形的内角和（教学课件）PPT课件（教案+分层作业+学习任务单）
页数：29 | 大小：19M这份四年级下册“三角形的内角和”第3课时课件，以“猜谜+争议”激趣，带领学生经历完整的“猜想—验证—结论—应用”探究链条，在动手、动口、动脑中发现并确认“三角形内角和是180”。课堂分四大任务层层推进：先让学生用量角器分组测量锐角、直角、钝角三角形的三个内角，记录并求和，发现结果都接近180，初步形成猜想；再用折拼法沿角平分线折叠，或用撕拼法撕下三个角拼成平角，直观看到“三个角正好组成一条直线”，完成从“接近”到“正好”的关键验证；教师顺势介绍数学家帕斯卡12岁发现该定律的趣闻，激发“我也能发现”的自信；最后用“回顾填空—拼图形算未知角—剪长方形填角度”三组梯度练习，把新知嵌入游戏和挑战，让“180”成为学生可触、可量、可想的清晰结论。整节课渗透了几何直观、推理意识和探究精神：测量时强调“点对点、线对线”，折拼时提醒“折痕过顶点”，汇报时要求学生用“因为……所以……”完整表达，让“量一量、折一折、拼一拼、说一说”成为学生发现规律、验证规律、应用规律的完整链条。课后延伸“用三角板拼未知角”和分层作业，则鼓励学生把课堂发现的热情延伸到家庭，继续在生活中寻找“180”的身影，真正形成“兴趣—探究—验证—再探究”的良性循环，为后续学习三角形面积、多边形内角和及几何证明奠定坚实的直观与推理基础。
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四年级数学下册北师大 第三单元 第1课时 买文具（教学课件）PPT课件（教案+分层作业+学习任务单）
页数：34 | 大小：20M这份四年级下册“小数乘整数（买文具）”课件，以“逛文具店”的真实购物情境贯穿始终，依照“学习目标-课前引入-新知探究-达标练习-知识总结-课后作业”的清晰脉络，引导学生在“买文具”的过程中经历“意义理解-算法探索-应用巩固”的完整学习。课前通过整数乘法口算和“几个几”的意义追问，为学生架起“相同加数求和”的旧知桥梁；核心探究分两大任务：先以“买4块橡皮（0.8元/块）”为例，用加法、元角分转化和涂色面积模型三种方法，让学生看到0.84与80.4都表示“4个0.8相加”，从而明确小数乘整数与整数乘法意义完全一致；再以“买尺子、卷笔刀”等连锁任务，引导学生用“先算84再添小数点”“元换算成角再计算”等口算策略，聚焦一位小数乘整数的算理和算法，概括出“先按整数乘，再对齐小数点点小数”的简便口算步骤。达标练习采用“生活三套餐”：①基础计算——直接口算0.67等；②应用题——买3支铅笔、2把尺子共多少钱；③互动涂色——在十格条上涂出0.35，系统实时统计正确率，教师针对“小数点点错”“相同数位未对齐”再示范，确保“会算、会解释、会应用”全程过关。知识总结用“一句口诀”收束：先算整数积，再点对齐；课后布置“讲一个买文具的数学小故事”和分层作业，让学生把课堂体验延伸到生活，真正实现“会用数学眼光观察购物，用数学语言表达计算”。整份课件用“情境激趣—多元算法—生活应用—故事延伸”四连击，把小数乘整数从“机械计算”升级为“会口算、会解释、会应用”的综合能力，既培养数感和运算能力，又为后续小数乘小数及解决更复杂实际问题奠定坚实而有趣的基础。
