人教版高中数学选修3二项式定理教学设计（内容全面）

例2.（1）求(1+2x)^7的展开式的第4项的系数；（2）求(2√x-1/√x)^6的展开式中x^2的系数.解：(1+2x)^7的展开式的第4项是T_(3+1)=C_7^3×1^(7-3) ×〖(2x)〗^3=C_7^3×2^3 ×x^3=35×8 ×x^3=280 x^3因此,展开式第4项的系数是280.（2）(2√x-1/√x)^6 的展开式的通项是C_6^k 〖(2x^(1/2))〗^(6-k) 〖(x^(-1/2))〗^k=〖C_6^k 2〗^(6-k) x^((6-k)/2-k/2)=〖C_6^k 2〗^(6-k) x^(3-k)根据题意，得3-k=2，k=1 ，因此，x^2 的系数是〖（-1）×2〗^5×C_6^1=-192.二项式系数与项的系数的求解策略 (1)二项式系数都是组合数C_n^k(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念.(2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为C_n^k.例如,在(1+2x)7的展开式中,第4项是T4=C_7^317-3(2x)3,其二项式系数是C_7^3=35,而第4项的系数是C_7^323=280.跟踪训练2. (1)求二项式 2√x-1/x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数;(2)求 x-1/x 9的展开式中x3的系数.解:(1)由已知得二项展开式的通项为Tk+1=C_6^k(2√x)6-k· -1/x k=26-kC_6^k·(-1)k·x^(3"-" 3k/2),∴T6=-12x^("-" 9/2).∴第6项的二项式系数为C_6^5=6,第6项的系数为C_6^5·(-1)5·2=-12.(2)设展开式中的第k+1项为含x3的项,则Tk+1=C_9^kx9-k -1/x k=(-1)kC_9^kx9-2k,令9-2k=3,得k=3,即展开式中第4项含x3,其系数为(-1)3·C_9^3=-84.