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【类型五】 角平分线的性质与等腰三角形的性质综合的探究性问题如图,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BE是∠ABC的平分线,DE⊥BC,垂足为D.(1)请你写出图中所有的等腰三角形;(2)请你判断AD与BE垂直吗?并说明理由.(3)如果BC=10,求AB+AE的长.解析:(1)由△ABC是等腰直角三角形,BE为角平分线,可得△ABE≌△DBE,即AB=BD,AE=DE,所以△ABD和△ADE均为等腰三角形.由∠C=45°,ED⊥DC,可知△EDC也是等腰三角形;(2)BE是∠ABC的平分线,AE⊥AB,DE⊥BC,根据角平分线定理可知△ABE关于BE与△DBE对称,可得出BE⊥AD;(3)根据(2),可知△ABE关于BE与△DBE对称,且△DEC为等腰直角三角形,可推出AB+AE=BD+DC=BC=10.解:(1)△ABC,△ABD,△ADE,△EDC;(2)AD与BE垂直.理由如下:由BE为∠ABC的平分线,知∠ABE=∠DBE.又∵∠BAE=∠BDE=90°,BE=BE,∴△ABE沿BE折叠,一定与△DBE重合,∴A、D是对称点,∴AD⊥BE;
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