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(1)求改直后的公路AB的长;(2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)?解析:(1)过点C作CD⊥AB于D,根据AC=10千米,∠CAB=25°,求出CD、AD,根据∠CBA=45°,求出BD、BC,最后根据AB=AD+BD列式计算即可;(2)根据(1)可知AC、BC的长度,即可得出公路改直后该段路程比原来缩短的路程.解:(1)过点C作CD⊥AB于点D,∵AC=10千米,∠CAB=25°,∴CD=sin∠CAB·AC=sin25°×10≈0.42×10=4.2(千米),AD=cos∠CAB·AC=cos25°×10≈0.91×10=9.1(千米).∵∠CBA=45°,∴BD=CD=4.2(千米),BC=CDsin∠CBA=4.2sin45°≈5.9(千米),∴AB=AD+BD=9.1+4.2=13.3(千米).所以,改直后的公路AB的长约为13.3千米;(2)∵AC=10千米,BC=5.9千米,∴AC+BC-AB=10+5.9-13.3=2.6(千米).所以,公路改直后该段路程比原来缩短了约2.6千米.方法总结:解决问题的关键是作出辅助线,构造直角三角形,利用三角函数关系求出有关线段的长.
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