人教A版高中数学必修一两角和与差的正弦、余弦和正切公式教学设计（1）（完美版）

１.两角差的余弦公式如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α＋β，α－β的正弦、余弦吗？下面，我们来探究cos(α－β)与角α，β的正弦、 余弦之间的关系不妨令α≠2kπ＋β，k∈Z． 如图5.5.1，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A（１，０），以x轴非负半轴为始边作角α，β，α—β， 它们的终边分别与单位圆相交于点A_1（cosα，sinα）， P_1（cosβ，sinβ），P(cos(α－β)，sin(α－β))．任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性．连接A_1 P_1，AP．若把扇形OAP,绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A_1, P_1重合．根据圆的旋转对称性可知，(AP) ̂与(〖A_1 P〗_1 ) ̂ 重合，从而， 所以AP＝〖A_1 P〗_1根据两点间的距离公式，得[cos⁡(α-β)-1]^2+[s⁡in(α-β) ]^2=〖(〖cosα-〗⁡cosβ)〗^2+〖(〖sinα-〗⁡sinβ)〗^2，化简得:cos⁡(α-β)=cosα⁡cosβ+sinα⁡sinβ当α=2kπ＋β （k∈Z）时，容易证明上式仍然成立．所以，对于任意角α，β有