椭圆的简单几何性质（1）教学设计人教A版高中数学选择性必修第一册（内容详细）

讨论椭圆的几何性质时,一定要将方程化为标准方程,标准方程能将参数的几何意义凸显出来,另外要抓住椭圆中a2-b2=c2这一核心关系式.跟踪训练1 求椭圆m2x2+4m2y2=1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.解:由已知得x^2/(1/m^2 )+y^2/(1/(4m^2 ))=1(m>0),因为01/(4m^2 ).所以椭圆的焦点在x轴上,并且半长轴长a=1/m,半短轴长b=1/2m,半焦距c=√3/2m,所以椭圆的长轴长2a=2/m,短轴长2b=1/m,焦点坐标为("-" √3/2m "," 0),(√3/2m "," 0),顶点坐标为(1/m "," 0),("-" 1/m "," 0),(0",-" 1/2m),(0"," 1/2m),离心率e=c/a=(√3/2m)/(1/m)=√3/2.例2 椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2 =1(a>b>0)的两焦点为F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为 . 解析:方法一:如图,∵△DF1F2为正三角形,N为DF2的中点,∴F1N⊥F2N.∵|NF2|=|OF2|=c,∴|NF1|=√("|" F_1 F_2 "|" ^2 "-|" NF_2 "|" ^2 )=√(4c^2 "-" c^2 )=√3c.由椭圆的定义可知|NF1|+|NF2|=2a,∴√3c+c=2a,∴a=("(" √3+1")" c)/2.∴e=c/a=2/(√3+1)=√3-1.方法二:注意到焦点三角形NF1F2中,∠NF1F2=30°,∠NF2F1=60°,∠F1NF2=90°,则由离心率的焦点三角形公式,可得e=(sin∠F_1 NF_2)/(sin∠NF_1 F_2+sin∠NF_2 F_1 )=sin90"°" /(sin30"°" +sin60"°" )=1/(1/2+√3/2)=√3-1.