点到直线的距离公式教学设计人教A版高中数学选择性必修第一册（订稿版）

设P_1 （x_1,y_1 ）,P_2 （x_2,y_2）直线l：Ax+By+C=0 上的任意两点，则(P_1 P_2 ) ⃗=(x_2-x_1,y_2-y_1)是直线l的方向向量。把Ax_1+By_1+C=0, Ax_2+By_2+C=0 两式相减，得A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)=0 ，由平面向量的数量积运算可知，向量(A,B)与向量(x_2-x_1,y_2-y_1)垂直，向量 1/√(〖A^2+B〗^2 ) (A,B)就是与直线的方向向量垂直的一个单位向量的单位向量，我们取n=1/√(〖A^2+B〗^2 ) (A,B)，从而(PM) ⃗∙n=(x-x_0,y -y_0) 1/√(〖A^2+B〗^2 ) (A,B)=1/√(〖A^2+B〗^2 ) (Ax+By-Ax_0-By_0)因为点M(x,y)在直线l上所以Ax+By+C=0代入上式，得(PM) ⃗∙n=1/√(〖A^2+B〗^2 ) (-Ax_0-By_0-C)因此|(PQ) ⃗ |=|(PM) ⃗∙n|=|Ax_0+By_0+C|/√(〖A^2+B〗^2 )思考：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？1.点到直线的距离(1)定义:平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.(2)图示:(3)公式:d=("|" Ax_0+By_0+C"|" )/√(A^2+B^2 ).点睛： (1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.